第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题学.科.网.
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 学.科.网.zxxk
两点之间,线段最短
① ② ③
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？ 学.科.网.zxxk.
根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
P 所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
B/ 点P的位置即为所求.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.
为什么这样做就能得到最短距离呢？
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
三角形任意两边之和大于第三边
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
练习 请你自己动手 试一试！
只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE中，AE+EC＞AC, 即 AE+EC＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处，
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A· · B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
A· B M N E C D
4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短
F A O B D · · C E G H
A/ B/ P Q
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中， ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
即CM+MN+ND最短
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
B C D E 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 ?
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
A O B Ｃ. . E D M N G H
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN
即CM+CN+MN最短
再见！