数学-第五章 5 .1 垂线
一、学习目标 1、了解垂线段的概念, 2、了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 3、学会度量点到直线的距离。
重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用。
二、重点和难点 难点：点到直线的距离的概念的理解。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
b a 用“⊥”和直线字母表示垂直
O α 2.垂直的表示： 例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
一、复习
A B C D O 书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
∵∠AOD=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式： 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义： ∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
3.垂直的书写形式：
l A 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
垂线的画法复习：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质（1）:
P 请你画图，并用尺量一下，看看哪一条线段最短？
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
P l A 要找垂线段，先把点来看。 过点画垂线， 点足垂线段。
例如：如图，PA⊥l于点A ，线段PA叫做点P到直线l的垂线段.
垂线段的概念：
B D A O C1 C2 C3 C4 简单说成: 垂线段最短.
结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。
A B P D 特别强调:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
P l A 例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示?
l P A 解:过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
点到直线的距离：
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD中最短的是( ) (A)、AC (B)、BC、(C)、CD (D)、不能确定
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
D A B C D C 例1、选择题：
1 2 A B C D O ∵BO⊥AC于O点 ） ) （已知） ∵∠ABC=90°( )
∠1=60°（） 已知 ∴∠ABO=30° 解： （已知） ∴∠BOC=90° ∴∠BOD=30° （余角定义） （余角定义） 已知 （垂直定义） 又∵∠2=∠1=60°
例2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
D B C A E 已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？
答：不能。 想一想：
C A D E B 解： ∵ AC⊥BC于C(已知）
∴ AC＜AB（垂线段最短）
又∵ CD⊥AD于D(已知）
∵ DE⊥BC于E(已知）
∴ CD＜AC（垂线段最短）
∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小。
A B 答:……。 例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离,（2）货场B到铁道的距离。
A B C P Q ∴BP=CQ 例5、如图，
1)画出线段BC的中点M，连结AM；
2)比较点B与点C到直线AM的距离。
例6、1.如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，
1)过M点画CD的垂线交CD于F点,
2)M点和N点的距离是线段____的长，
3)M点到CD的距离是线段____的长。
MN MF A B C D M N ∴直线MF为所求垂线。
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄 ∟ 垂线段最短 拓展应用1
A B C D E F G M · · 问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说明理由。
问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线。
┏ N 拓展应用2
1、垂线段的定义 2、点到直线的距离 3、垂线的性质（2）
垂线段最短 小结： 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
祝同学们学习进步 再见