北师大版数学八年级(上)
第四章 四边形性质探索
矩形、正方形（一） 瑶安民族中学欧永文
我们生活中充满了矩形和正方形这两种几何图形，教室里的黑板，门窗，课桌的桌面，信封明信片等都是矩形或正方形的形状，而你是否了解这两种几何图形的性质呢？ 这节课我们一起来学习一吧！先由矩形（长方形）开始吧！
寻找生活中的矩形
活动一：思考讨论 1:矩形是平行四边形吗？
2:平行四边形经过怎样的 变化就成为了矩形呢？
观察下面的演示 平行四边形 长方形 有一个角是直角 矩 形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
★矩形具有平行四边形的一切性质！
根据平行四边形的性质，矩形的各内角分别是多少度？
思考 矩形性质 矩形的四个角都是直角.
活动二：探索矩形的性质
A B C D 已知：四边形ABCD是矩形，∠A＝900
求证：∠A= ∠B = ∠C=∠D=900
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC ∴ ∠A+ ∠B=1800
又∵ ∠A＝900 ∴ ∠B ＝900 又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等）
∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900
即矩形的 四个角都是直角。
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状。
做一做
（1）随着∠a的变化,两条对角线的长度 怎样变化的？
（2)当∠a是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠a是钝角时呢？
（3)当∠a是直角时，平行四边形变成 成矩形，此时两条对角线的长度有什么 关系？
随着∠a的变化，一条对角线在变长，一条在变短。
当∠a是锐角时，过∠a的顶点的那条对角线 比另一条长；当∠a是钝角时，过∠a的顶点 的那条对角线比另一条短
两条对角线相等
A B C D 已知：AC,BD是矩形的对角线。
求证：AC=BD 证明：在矩形ABCD中， AB=CD(平行四边形的对边相等）
∠BAD=∠CDA=Rt∠（矩 形的每个角都是直角）
AD=DA ∴Rt△BAD≌ Rt△CDA(SAS)
∴ AC=BD. 即矩形的对角线相等。
矩形性质： 矩形的对角线相等， 四个角都是直角。
做一做：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O, AB=OA=4cm. 求：BD与AD的长
解： ∵四边形ABCD是矩形
∴BD=AC=2OA=8cm， ∴∠BAD＝90°
在Rt△BAD中，根据勾股定理，得：
∴ 答：BD=8cm，
有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
1. 定义判别： ∠A=90° 活动三：矩形的判别
结论：对角线相等的平行四边形是矩形
理由： 在 ABCD中 AB=DC,BD=CA,AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD ∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是 直角的平行四边形是矩形）
对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？
判定方法二： 对角线相等的平行四边形是矩形
大显身手： 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD 相交于点o， △ AOB是等边三角形。求： ∠BAD的度数
解：∵ △AOB是等边三角形
∴OA=OB ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2OA,BD=2BO
∴AC=BD ∴平行四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝90°。
答： ∠BAD＝90°。
活动四：议一议 （1)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 如果不是，简述你的理由。 （2)直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半， 你能用矩形的有关性质解释这个结论吗？
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
在矩形ABCD中， BO=OD(矩形的对角线互相平分） BD=AC，（矩形的对角线相等）
∴
练习 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（） A 对角线相等 B 对边相等 C 对角相等D 对角线互相平分 2、下面说法中正确的是 （ ） A 有一个角是直角的四边形是矩形 B 两条对角线相等的四边形是矩形 C 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D 四个角都是直角的四边形是矩形
A D
练一练 1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ） A 对角线相等B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 cm 2、如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由。
C 5
课堂小结 矩形的判别方法 ： 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质 2.矩形的四个角都是直角 3.矩形的对角线相等
作业： 课本114页第1题
再见