探索三角形全等的条件
(第二课时)
我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?
每种情况下得到的三角形都全等吗?
1、角.边.角;
2、角.角.边
做一做 1、角.边.角; 若三角形的两个内角分别是60°和80°它们所夹的边为4cm,你能画出这个三角形吗?
80°
你画的三角形与同伴画的一定全等吗?
2、角.角.边 若三角形的两个内角分别是60°和40°，且40°所对的边为4cm，你能画出这个三角形吗?
分析： 这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
三角形全等的判定公理2：∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F ∴ΔABC≌DEF（ASA）
三角形全等的判定公理3：∵ ∠B=∠E ，∠C=∠F，AC=DF ∴Δ ABC≌DEF （AAS）
练一练： 1、完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（）
ASA A B C D O （ ） 公共边 ∠2=∠1 AAS ∠3＝∠4 ∠2＝∠1 CB＝BC
2、请在下列空格中填上适当的条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
∴△ABC ≌△DEF（ ）
SSS AB=DE BC=EF AC=DF ASA ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠DEF AC=DF ∠ACB=∠F AAS ∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F BC=EF
想一想： 如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？
我的思考过程如下：两角与夹边对应相等
∴△AOC≌△BOD
补充练习： D C B A 1、在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，证明：∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是BC边上的中线 ∴BD＝CD（三角形中线的定义） 在△ABD和△ACD中
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
∴ ∠BAD=∠CAB（全等三角形对应角相等）
AD是∠BAC的角平分线。 求证：BD＝CD
证明：∵AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义） ∵AB＝AC（已知） ∠BAD＝∠CAD（已证） AD＝AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SAS） ∴BD＝CD（全等三角形对应边相等）
A B C D E 1 2 如图，已知 ∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？
解： △ABC和△ADE全等。 ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC 即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADC 中
∴ △ABC≌△ADE
（AAS）
B C D E A 如图：已知AB＝AC，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？为什么？
∴△ABD≌△ACE（ASA）
AE＝AD，∠B＝∠C，
∠B＝∠C ∠A＝∠A AD＝AE
AAS
若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝5cm,△DEF中∠D＝70°∠F＝80°，DF＝5cm，那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的 三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(2)已知和 中,= ,AB=AC.
求证: (1) (3) AB=AC (4) BD=CE 证明: (2) AE=AD
(全等三角形对应边相等)
(已知) (已知) (公共角) (全等三角形对应边相等)
(等式的性质)
(3) 如图，AC、BD交于点 ,AC=BD,AB=CD. 求证：
A B C D 练一练: O
再创辉煌： 1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据ASA或AAS，那么应补充一个直接条件 --------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
A B C D E F ∠B=∠E或∠A=∠D
如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？
五、思考题
小结 (1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
知识要点： （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
数学思想： 要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
探索三角形全等的条件 （第三课时）
第三章 三角形
探究新知 因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
回顾与思考 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
答：两边一角相等 那么有几种可能的情况呢？
答：两边及夹角或两边及其一边的对角
做一做 （1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
(2)若两边的夹角为20 °，画一个三角形。 再换一个30 °试一试，情况会怎样呢？
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A B C D E F 2.5cm 3.5cm 40° 40° 3.5cm 2.5cm 结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
练一练 分别找出各题中的全等三角形
40° D E F (1) (2) △ABC≌△EFD 根据“SAS”
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
想一想 AC=DC? ∠ACB=∠DCE BC=EC
△ACB≌△DCE
AB=DE
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH
说一说 1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
答：边角边（SAS）
2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
答：SSS、SAS、ASA、AAS
3、在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
答：至少有一个条件：边相等
注意哦！ “边边角”不能判定两个三角形全等
作业提示