回顾与思考 第三章 三角形 北师大版数学 七年级下册
2.认识三角形的边、内角、顶点。
一、 认识三角形 1.了解三角形定义:
（1）边上的性质： 三角形的任意两边之和大于第三边
三角形的任意两边之差小于第三边
（2）角上的性质： 三角形三内角和等于180度
二、三角形的性质 直角三角形的两个锐角和等于90度
1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”) ① 3，4，5（ ）② 8，7，15（ ） ③ 13，12，20（ ） ④5，5，11（ ）
不能 不能 能 能 直角三角形 钝角三角形 2、根据下列条件判断它们是什么三角形？ （1）三个内角的度数是1:2:3（ ） （2）两个内角是50°和30° （ ）
练一练： 3、△ABC，AB＝5，BC＝9，那么＜AC＜ ___
4 14 4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 ______
7 或 9
5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 _________
（第6题） （第7题） 6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度 7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°， 则∠B= 度，∠C= 度
17cm 100 50 60
x 3x 5x 1、如图，求△ABC各内角的度数。
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求这三个内角的度数。
解：3x + 2x + x = 180 6x=180 X=30 ∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
解：设三个内角分别为x，3x，5x 则x + 3x + 5x = 180 x=20 ∴三角形三个内角分别为：20°，60°,100°
2x 3x x
则△ABC是 （ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
∠B= 9.在△ABC中，如果∠A=
∠C ∠B = 3 10.在△ABC中，如果∠A = 2
∠C 则△ABC是 （ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
B A 8.在△ABC中，如果∠A＋∠B＝ 2∠C，∠A≠∠B， 那么（ ） A、∠A＝600B、∠B＝600， C、∠C＝600 D、∠A、∠B、∠C都不等于600
C
1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念
三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念
BE=EC 线段AE是三角形BC边上的中线.
∠1=∠2 线段AD是三角形∠BAC的角平分线.
线段AD是BC边上的高.
∠ADB=∠ADC =90°
直线DE是BC边上的中垂线.
∠DEB=∠DEC =90° 且BE=EC 连接DC DB=DC(中垂线的性质）
D
四、三角形三线的性质
1.三角形的三条中线交于一点.（三角形内部）
2.三角形的三条角平分线交于一点. （三角形内部）
3.三角形的三条高所在直线交于一点
①锐角三角形的三条高交于同一点. （三角形内部）
②直角三角形的三条高交于直角顶点.
③钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）
1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长=________.
2.如图,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,则∠ECF的度数=______度.
练一练: 10.5 90 邻补角的角平分线的夹角为90度。
4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。 已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，∠BDC的度数。
400 800 A B C E D F 3.如图，AD、BF都是△ABC的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。
30
三角形中线的性质： 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形
如图，若AD是△ABC中BC边上的中线，
则有 △ABD的面积=△ACD的面积
如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
五、三角形全等的判定方法
（1）全等三角形的定义
（2）边边边公理（SSS）
（3）边角边公理（SAS）
三边对应相等的两个三角形全等
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
能够完全重合的两个三角形是全等三角形
（4）角边角公理（ASA）
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（5）角角边公理（AAS）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
A B C D E F 2.5cm 3.5cm 40° 40° 3.5cm 2.5cm 结论：两边及其一边所对的角相等， 两个三角形不一定全等
ASS
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
AAA
不能把“AAS”、“ASA”简述为 “两角和一边对应相等的两个三角形全等”？
在△ADE和△ABC中
但△ABC和△ADE不全等
结论：说明两个三角形全等时, 特别注意边和角“位置上对应相等” 。
判断两个三角形全等的方法有：
(1)：； (2)： ； (3)： ； (4)： ； SSS SAS ASA AAS
4．三角形全等的条件思路： 当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应找 。 当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应找 。 当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条件应找 。 5．找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有： 。
如图,已知AC平分∠BCD, 要说明△ABC≌△ADC, 还需要增加一个什么条件?请说明理由。
D C A B 或∠BAC=∠DAC
BC=CD 或∠B=∠D
1、如图AD=BC，要判定△ABC≌△CDA， 还需要的条件是 .
基础训练 AB=CD 或∠DAC＝∠BCA
B A F C D E 2、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明∠EFD=∠BCA的理由。
1.如图，已知AB=CD，AD=BC， 问∠B=∠D吗？请说明理由。
2. 如图， ∠ A= ∠ D, ∠ ACB= ∠ DBC 问AB=DC吗？试说明理由。
3.已知 △ABC 和 △AED 中, ∠B =∠E ,AB=AE 试说明△ABC ≌ △AED
5.如图,O是AB的中点， O是CD的中点，试说明：AC∥BD
6.如图,AC ∥DE, ∠ B= ∠F,BD=CF, 试说明AB=EF
A C B O D 3、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC， AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
思考题：
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言： ∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
（HL） BC=B′C′
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)：； (2)： ； (3)： ； (4)： ； SSS SAS ASA AAS (5)： ； HL
(1) _______,∠A=∠D ( ASA ) (2) AC=DF,________ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( ) (4) AC=DF, ______ ( HL ) (5) ∠A=∠D, BC=EF ( ) (6) ________,AC=DF ( AAS )
B C A E F D 把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF BC=EF HL AB=DE AAS ∠B=∠E 快问快答
2.如图，∠ACB =∠ADB=90，要使△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应 的括号内填写出判定它们全等的理由。 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）
综合练测 AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB
HL HL AAS AAS 。
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C D A B 我能行！ 解：BC=BD ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD 练一练
1、图中三角形的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
E A 当增加n条线的时候，有多少个三角形？
拓展练习
2、如图，∠1=∠2，AB=CD，AC与BD相交于点O，则图中必定全等的三角形有（） A. 2对B. 3对 C. 4对D. 6对
C
3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度
B C D A G M H E F 360
4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 .
5、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。
6或10
解： △ABC和△ADE全等。 ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC 即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADC 中
A B C D E 1 2 2.如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？
∴ △ABC≌△ADE
（AAS）
4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E， AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？ 说说你的理由
如图线段AB是一个池塘的长,现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。
B A
8、把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置,判断AB和CD两条对角线是否互相垂直,并说明理由.
你们可要好好动动 脑哟！ 这是一种什么图形 变换？
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC? ∠ACB=∠DCE BC=EC
△ACB≌△DCE(SAS)
AB=DE E C B A D 解：